はじめに

本稿はYuzuru Mitsui and Hiroshi Koriによる論文の和訳です。生成AIによる和訳ですので、内容の正確性の保証はありません。ご不明な点は現論文をご参照ください。

Acstruct

テイラーの法則（TL）、平均と分散の間のスケーリング関係は、様々な分野で観察されています。しかし、なぜTLがこれほど広く観察されるのか、なぜTLの指数がしばしば2に近いのか、そして時間的TLと空間的TLの関係については、完全には理解されていません。本研究では、結合振動子モデルを用いて、同期がTLを誘発できることを解析的および数値的に実証しています。特に、強い同期が波形の比例性をもたらし、その結果、指数2の時間的および空間的TLが生じることを示しています。我々の研究は、平均と分散の関係のみから同期の存在を推測するのに役立つ可能性があります。

Introduction　テイラーの法則

テイラーの法則[1, 2]（TL）は、平均と分散の間のべき乗則関係です：

$$\log(\text{分散}) = \log \alpha + \beta \times \log(\text{平均})　(1)$$

TLは、個体群生態学[2]、生物物理学[3]、複雑ネットワーク[4-6]をはじめとする様々な分野[7, 8]で観察されています。TLは物理学では変動スケーリングとしても知られています[7]。特に、$\beta > 1$の場合、式(1)の関係は巨大数変動と呼ばれることがあります。これは実験的に[9]および理論的に[10-12]研究されており、アクティブマター分野で大きな注目を集めています[13-16]。TLは理論研究[3, 17-34]を通じて広範に分析されており、通常、時間的TLと空間的TLの2種類に分類されます。時間的TLでは、平均と分散は特定の場所で複数の時点で記録されたデータから計算され、一方、空間的TLでは、平均と分散は特定の時点で複数の場所で記録されたデータから計算されます。

様々な研究がTLのメカニズムを明らかにしようと試みています。理論的にはTL指数$\beta$は任意の実数値をとり得ることが示されていますが[25-27]、生態系の実データでは時間的TLと空間的TLの両方において、しばしば2に近い指数が観察されています[24, 28, 35]。CohenとXuは、複数の独立した確率変数が同じ分布に従う場合、その分布が歪んでいると、ランダムサンプリングによって平均と分散の間に相関が現れることを示しました[20]。彼らの結果はTLの普遍性に光を当てましたが、生態系で観察されるTL指数がしばしば2に近い理由は、分布の形状によってTL指数が任意の値をとり得るため、不明のままでした。

Giomettoらは、大偏差理論と有限サンプル議論を適用し、サンプリング方法によっては、空間的TLにおいて指数2がしばしば観察される可能性があることを示しました[19]。Reumanらは、確率変数間の相関が空間的TLの指数に影響することを示しました[18]。特に、時系列間に比例関係が存在する場合、指数2の空間的TLが観察されます[18]。

2に近い指数を持つTLの出現メカニズムとして、時系列間の相関が重要と考えられており、そのような相関を生成するメカニズムとして同期が強く示唆されています。さらに、力学系の数値シミュレーションを用いた研究により、同期が時間的および空間的TL指数の両方に影響することが示されています[28, 30, 31]。時系列間の相関度が増加すると、時間的および空間的TLの指数が2に近づくことは注目に値します[22, 24, 36]。

本研究では、生態系モデルを含む広範な力学系モデルにおいて、同期が時系列間に波形比例性と呼ぶ特殊な相関を生成し、その結果、指数2の時間的および空間的TLが生じることを示しました。

まず、与えられた時系列集合$x_i(t)$ ($i = 1, \ldots, N$)に対してTLを定義します。時間的TLでは、各サイト$i$の平均と分散をそれぞれ$E[x_i(t)]_t = \langle x_i(t) \rangle_t$および$V[x_i(t)]_t = \langle (x_i(t)-E[x_i(t)]_t)^2 \rangle_t$として計算します。ここで$\langle \cdot \rangle_t$は長時間平均、または$x_i(t)$が$t$に関して周期的である場合は1周期にわたる平均を表します。$(log E[x_i(t)]_t, log V[x_i(t)]_t)$の$N$個のデータ点に対する線形フィッティングから、傾き$\beta_t$と切片$log \alpha_t$が得られます。

空間的TLでは、時刻$t$における平均と分散はそれぞれ$E[x_i(t)]_i = \langle x_i(t) \rangle_i$および$V[x_i(t)]_i = \langle (x_i(t) - E[x_i(t)]_i)^2 \rangle_i$で表されます。ここで$\langle \cdot \rangle_i$はサイト$i$に関する平均を表します。$(log E[x_i(t)]_i, log V[x_i(t)]_i)$の$M$個のデータ点（$M$はサンプル時間の数）に対する線形フィッティングから、傾き$\beta_s$と切片$log \alpha_s$が得られます。

いずれの場合も、$R^2$は線形フィッティングに対する決定係数を表します。

私たちの結果は振動子の集団を記述するモデルに基づいており、振動子$i$（$i = 1, \ldots, N$）は以下に従います。

$$\dot{x}_i = f_x(x_i, y_i, z_i) + D_x(X - x_i) \qquad (2a)$$　
$$\dot{y}_i = f_y(x_i, y_i, z_i) + D_y(Y - y_i) \qquad (2b)$$　
$$\dot{z}_i = f_z(x_i, y_i, z_i) + D_z(Z - z_i)　\qquad (2c)$$

最初の例として、グローバル結合を持つ食物連鎖モデルを考えます。

具体的には、以下を考えます
$$ f_x = a(x_i - x^p) - l x_i y_i $$
$$f_y = -b_i(y_i - y^p) + lx_iy_i - ky_iz_i$$
$$f_z = -c(z_i - z^p) + ky_iz_i$$
$$X = \langle x_i \rangle_i$$
$$Y = \langle y_i \rangle_i$$
$$Z = \langle z_i \rangle_i$$

ここで、$x_i$、$y_i$、$z_i$はそれぞれサイト$i$における植生、草食動物、捕食者の個体数を表します。$\langle w_i \rangle_i = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N w_i$はサイト$i$にわたる個体数$w_i$（$w_i = x_i, y_i, z_i$）の平均です。また、$a$、$b_i$、$c$、$l$、$k$、$x^p$ 、$y^p$ 、$z^p$ は固有の動的特性を記述するパラメータです[37-39]。[37-39]に従い、サイト間の不均一性はパラメータ$b_i$で表現できます。式(2)の第二項は、強度$D_x$、$D_y$、$D_z$を持つ拡散結合を表します。

不均一性はパラメータ$b_i = b_0 + \mu_i$で表現できると仮定します。ここで、$b_0$は平均$\langle b_i \rangle_i$で、$\mu_i$は平均からの偏差です。なお、$\langle \mu_i \rangle_i = 0$です。具体的には、$\mu_i$は-0.1から0.1の間の一様分布から選択され、昇順にソートされています。便宜上、基準振動子$i = 0$を導入しました。これは$b_i = b_0$かつ$D_x = D_y = D_z = 0$で式(2)に従います。

このモデルは、結合強度が$\max|\mu_i|$と同程度かそれ以上である場合、広範なパラメータ範囲で同期振動を示します。図1の上段パネルは$x_i(t)$の典型的な波形を示しています。図1(b)-(d)から明らかなように、十分に強い結合が存在する場合、振動子は周波数において同期します。

次に、図2で時間的および空間的TLを検証します。青色の記号は平均-分散関係を表しています。$D_y$が十分に大きい場合、指数が2に近いTLが観察されます。さらに、時間的TLは$D_y = 0.8$で明確になりますが、空間的TLはより強い結合を必要とするようです。

TLの根本的なメカニズムを決定するために、明確な時間的および空間的TLを示した図1(d)の上段パネルの波形を注意深く観察しました。すべての波形は非常に類似していることがわかりました。さらに、それらはおおよそ$x_0(t)$に比例していました（データは示していません）。

したがって、私たちは以下の関係がすべての$i$と$t$に対しておおよそ成り立つという仮説を立てました：

$$x_i(t) = C_i x_0(t)　\qquad (3)$$

ここで$C_i$は定数です。この関係は、以後「波形比例性」と呼ばれます。

このような関係の下では、以下に示すように、時間的および空間的TLは明らかに指数$\beta_{t,s} = 2$で成立します。まず、以下の関係に注目します：

$$E[x_i(t)]_t = C_i E[x_0(t)]_t$$
$$V[x_i(t)]_t = C_i^2 V[x_0(t)]_t$$
$$E[x_i(t)]_i = E[C_i]x_0(t)$$
$$V[x_i(t)]_i = V[C_i] (x_0(t))^2 $$

これらの関係から$C_i$と$x_0(t)$を消去すると、以下の時間的および空間的TLが得られます：

$$V[x_i(t)]_t = \alpha_t E[x_i(t)]_t^{\beta_t}$$　(4)
$$V[x_i(t)]_i = \alpha_s E[x_i(t)]_i^{\beta_s}$$　(5)

ここで、

$$\alpha_t = \frac{V[x_0(t)]_t}{E[x_0(t)]_t^2}$$　(6a)
$$\alpha_s = \frac{V[C_i]_i}{E[C_i]_i^2}$$　(6b)

であり、$\beta_t = \beta_s = 2$となります。

この仮説を検証するために、比率$\zeta_i(t) = \frac{x_i(t)}{x_j(t)}$をプロットします。ここで$j$は基準振動子であり、図1の下段パネルに示されています。$j$の選択は任意ですが、ここでは$x_{N/2}$が$x_0$に近いと予想されるため、$j = N/2 = 50$を選びました。

図1(d)の波形では波形比例性がおおよそ成立していますが、他のパネルでは成立していないことが明らかになりました。これは、波形比例性が強く同期した振動子で自発的に発生することを示唆しています。そして、指数$\beta_{t,s} = 2$のTLが自然に発生します。

次に、同期レベルとTL指数の結合強度$D_y$への依存性を定量的に調査します（図3）。ここで、同期の秩序パラメータ$\chi$は以下のように定義できます：

$$\chi = \frac{CV[X(t)]}{\max_i {CV[x_i(t)]}}　\qquad (7) $$

ここで$CV$は変動係数を表します。

つまり、$\chi$は$x_i(t)$の平均場の変動係数を、$x_i(t)$の変動係数の最大値で正規化したものです。この量は、振動子が完全に同期しているとき1に近く、非同期のとき0に近くなります。同じ$\chi$が図3(a)と(c)にプロットされています。さらに、$\log \alpha_{t,s}$は図S1に示されています。

$D_y$の値によっては、消光（クエンチング）が発生し、$\chi$を定義することが不可能になることがあります。そこで、$x_i(t)$の分散の平均、$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \langle(x_i(t) - \langle x_i(t) \rangle_t)^2 \rangle_t$が特定のしきい値未満の場合に消光が発生したと判断し、そのようなケースは除外しました。消光が発生したと判断した回数は図S2に示されています。いくつかの異なるしきい値に対して、定性的に同じ結果が得られることを確認しました。このプロセスは、後述するすべてのシステムに適用されました。

図3(a)と(b)から、$D_y$が増加するにつれて$\beta_t$が2に近い値に近づくことが観察できます。$D_y \approx 0.5$の近辺では、$R^2$は1に十分近く、$\beta_t$は2に近くなっています。したがって、指数$\beta_t \approx 2$の時間的TLは$D_y = 0.5$付近で観察されました。

対照的に、$\chi$によると、同期は約$D_y = 0.05$で始まり、時間的TLの発生よりもかなり早い段階で発生しています。これらの結果は、同期に加えて、時間的TLの出現に責任のある未確認の条件が存在することを示唆しています。

空間的TLの発生は時間的TLよりも著しく遅いものでした。この現象の原因を特定するために、時間的TLのみが観察された$D_y = 0.8$の波形に注目しました（図2(c)と(g)）。ここでは、波形比例性はうまく実現されていませんでしたが（図1(c)、下段）、波形のピーク位置が一致するようにシフトすると、比率$\zeta_i(t)$はほぼ一定になりました（図S3(c)に示すとおり）。

これは、式(3)で考慮された仮説を$x_i(t) = C_i x_0(t - t_i)$に置き換えるべきであることを示しています。さらに、シフト$t_i$はおおよそ$\mu_i$と$1/D_y$に比例することがわかりました（図S4と図S5）。

これらの結果は、波形比例性がラグ$t_i$とともに発生し、そのラグは$D_y$が増加すると減少することを示唆しています。$x_i(t) = C_i x_0(t)$を$x_i(t) = C_i x_0(t - t_i)$に置き換えても式(4)は成立するため、時間的TLはより小さな$D_y$で発生します。

対照的に、ラグが存在すると式(5)は破られます。したがって、空間的TLはラグがほとんどゼロ、つまり$D_y$がかなり大きい場合にのみ現れる可能性があります。このことから、シフトされた波形$x_i(t + t_i)$を使用すると、より広い範囲の$D_y$で空間的TLが観察されることがわかりました（図2(g)と(h)、および図S6の赤色の記号で示されているとおり）。

• 図1. 各結合強度におけるx_i(t)とζ_i(t)の例
  上段パネルは時系列を示し、下段パネルは時系列の比率を示しています。パラメータ設定は以下の通りです：N = 100、D_x = 0、D_z = 0、a = 1、c = 9、k = 0.6、l = 0.1、x^* = 1.6、y^* = 0、z^* = 0.01。b_iは4.9から5.1の間の一様分布からランダムに選択されました。i = 1、25、50、75、100のデータが示されています。

TLの出現に責任のあるメカニズムを理論的に明らかにするために、摂動解析を実施しました。数値結果に動機づけられ、以下の仮説を考慮しました：

$$x_i(t) = x_0(t - \varepsilon_i\tau) + \varepsilon_i p(t - \varepsilon_i\tau) + O(\varepsilon_i^2),\qquad(8a)$$　
$$y_i(t) = y_0(t - \varepsilon_i\tau) + \varepsilon_i q(t - \varepsilon_i\tau) + O(\varepsilon_i^2),\qquad(8b)$$　
$$z_i(t) = z_0(t - \varepsilon_i\tau) + \varepsilon_i r(t - \varepsilon_i\tau) + O(\varepsilon_i^2),\qquad(8c)$$

ここで、
$$\varepsilon_i = \frac{\mu_i}{D_y},\qquad(9)$$

は無次元の小さいパラメータを表し、$\tau$は定数、そして$p(t)$、$q(t)$、$r(t)$は決定されるべき関数です。$x_0(t)$は周期関数であり、考慮中の食物連鎖モデルにおいて以下の関係を満たしていることを思い出します：

$$ \dot{x}_0 = f_x(x_0, y_0, z_0) = (a - ly_0) x_0 - a x^p $$　(10)

式(8)において、$p(t) \propto x_0(t)$が良い近似で成り立つ場合、変数$x_i(t)$において波形比例性が発生すると言えます。以下に示すように、これはいくつかの条件下で真となります。

式(8)を式(2a)に代入し、$O(\varepsilon_i)$の項を抽出すると、以下が得られます：

$$\dot{p} = (a - ly_0 - D_x)p - lqx_0$$　(11)

式(10)と(11)はそれぞれ$x_0$と$p$に関して線形であることに注意してください。

したがって、他の時間依存関数が与えられていると仮定すると、これらの方程式を解いて周期的な$x_0(t)$と$p(t)$の表現を得ることができます。補足資料に示されているように、以下が得られます：

$$ x_0(t) = \left[ \kappa_1 - ax^p \int_0^t e^{-\bar{f}t'} g(t')dt' \right] e^{\bar{f}t+\delta F(t)},\qquad (12a)$$

$$p(t) = \left[ \kappa_2 - l \int_0^t e^{-(\bar{f}-D_x)t'} h(t')dt' \right] e^{(\bar{f}-D_x)t+\delta F(t)},　\qquad(12b)$$

ここで、
$$\bar{f} = \langle a-ly_0(t) \rangle_t$$
$$\delta F(t) = \int_0^t [f(t') - \bar{f}] dt'$$
$$g(t) = e^{-\delta F(t)}$$
そして
$$h(t) = q(t)x_0(t)e^{-\delta F(t)}$$
です。$\kappa_1$と$\kappa_2$は任意の定数です。

$\delta F(t)$は周期的であり、したがって$g(t)$と$h(t)$も周期的であることに注意してください。式(12a)の積分において、$g(t)$の振動周期（およそ$2\pi/\omega$）が$1/|\bar{f}|$よりも十分に小さい場合、$e^{-\bar{f}t'}$は1振動周期の間、おおよそ一定とみなせます。ここで$\omega$は振動周数です。

そうすると、$g(t)$は効果的に平均化され、$g(t)$の平均のみが重要になります。$g(t)$のフーリエ級数を使用すると、積分は直接計算でき、以下が得られます：

$$
x_0 = \frac{ax^p}{\bar{f}} \left[ A + O\left(\frac{\bar{f}}{\omega}\right) \right] e^{\delta F(t)} \qquad (13)$$

ここで$A = \langle g(t) \rangle_t$です。同様に、以下が得られます：

$$p = \frac{l}{\bar{f} - D_x} \left[ B + O\left(\frac{\bar{f} - D_x}{\omega}\right) \right] e^{\delta F(t)},$$　(14)

ここで$B = \langle q(t)x_0(t)e^{-\delta F(t)} \rangle_t$です。

したがって、以下の条件が満たされると、$p(t)$は$x_0(t)$にほぼ比例するようになります：

$$A \gg O\left(\frac{\bar{f}}{\omega}\right) \text{ かつ } B \gg O\left(\frac{\bar{f} - D_x}{\omega}\right)$$　(15)

したがって、$\varepsilon_i$が十分に小さい場合、指数$\beta_{t,s} = 2$のTLが良い近似で観察されるはずです。さらに、式(13)と(14)を式(4)と(5)に代入し、$O(\cdot)$の項を省略すると、以下が得られます：

$$\alpha_t = \frac{V[e^{\delta F(t)}]_t}{E[e^{\delta F(t)}]_t^2},$$　(16)

$$\alpha_s = \left(\frac{\bar{f}}{\bar{f} - D_x} \frac{lB}{ax^p A}\right)^2 V[ \varepsilon_i ]_i \qquad (17)
$$

• 図2. 各結合強度におけるテイラーの法則の例
  パラメータ設定：N = 100、D_x = 0、D_z = 0、a = 1、c = 9、k = 0.6、l = 0.1、x^* = 1.6、y^* = 0、z^* = 0.01。b_iは4.9から5.1の間の一様分布からランダムに選択されました。
  時間的TLは左列に、空間的TLは右列に示されています。青色のプロットは生データの時間的および空間的TLを示し、赤色のプロットはシフトされたデータの空間的TLを示しています。黒色の線は傾き2の参照線です。

• 図3. 食物連鎖モデルにおけるTLパラメータと同期度のDy依存性
  パラメータ設定：N = 100、D_x = 0、D_z = 0、a = 1、c = 9、k = 0.6、l = 0.1、x^* = 1.6、y^* = 0、z^* = 0.01。b_iは4.9から5.1の間の一様分布からランダムに選択されました。
  シミュレーションはt = 3500まで実行され、TLはt = 3000からt = 3500までの時系列を用いて計算されました。エラーバーは、異なる初期条件とb_iを持つ10回の計算の標準偏差を表しています。
  (a)と(c)では、紫色の線と垂直のオレンジ色の線はそれぞれχとmax{μ_i}を表しています。(b)と(d)では、赤線と黒線はそれぞれシミュレーション結果と理論結果を表しています。
  (a) 時間的TLの決定係数（緑線）
  (b) 時間的TLの指数
  (c) 空間的TLの決定係数（緑線）
  (d) 空間的TLの指数

式(15)は、$\bar{f}$と$D_x$が$\omega$よりも十分に小さい場合、一般的に満たされると予想されます。本研究の例では、$\omega \approx 2.18$、$\bar{f} \approx 0.0327$、$D_x = 0$であり、我々の近似の妥当性を示唆しています。実際、図3とS1の黒線で示された予測された$\beta_{t,s}$と$\log \alpha_{t,s}$は、大きな$D_y$においてシミュレーション結果と非常によく一致しています。

強い拡散結合を持つ振動子では、強結合極限において波形がほぼ同一になるため、波形比例性が自然に生じると素朴に期待するかもしれません。しかし、収束（$p(t) \to 0$）は波形比例性を意味するものではなく、収束方法が重要であることに注意してください。

素朴な期待に反する興味深い予測として、観測変数における結合強度$D_x$が大きい場合、式(15)が破られるため、波形比例性が壊れることが挙げられます。我々は補足資料において、$D_x > 0$のケースを考慮することで、この予測を数値的に実証しています（図S7）。対照的に、$D_z$に関する条件はありません。実際、図S8に示されているように、$D_z > 0$の場合でもTLが観察されます。

我々の理論を次のような状況に一般化します。N個の振動子があり、それぞれがM次元の力学系で記述できるとします。観測量$x_i(t)$ ($i = 1, \ldots, N$)が以下の式に従うとします：

$$\dot{x}_i = s_i(t)x_0 + u_i(t),$$　(18)

ここで$s_i(t)$と$u_i(t)$は周期$\frac{2\pi}{\omega}$で周期的です。$\varepsilon_i$の最低次において$s_i(t) = s(t)+\varepsilon_i\delta s(t)$および$u_i(t) = u(t)+\varepsilon_i\delta u(t)$と仮定します。ここで$s$、$u$、$\delta s$、$\delta u$は周期的です。このとき、上記の解析をこのシステムに同様に適用できます。

したがって、$\bar{f}$が$\langle s(t) \rangle_t$に置き換えられた式(15)が満たされる場合、小さな$\varepsilon_i$に対して$x_i(t)$において波形比例性が発生すると結論付けます。本質的に、方程式は観測量に関して線形であり、その固有の力学は十分に遅くなければなりません。これらの仮定が満たされると、平均化近似が有効となり、波形比例性が生じます。

さらに、我々の理論はカオス振動子のクラスにも近似的に拡張できることに注目します。式(18)の$s_i(t)$と$u_i(t)$が特性周期$T$でカオス振動を示すとします。1周期$T$にわたる$s_i(t)$と$u_i(t)$の時間平均が、$s_i(t)$と$u_i(t)$の長時間平均から強く変動しないと仮定します。この仮定の下で、上記の議論は近似的に成立します。

これらの観察から、(i)様々なタイプのカオス振動子、(ii)結合メカニズム、(iii)力学系を含む広範なシステムクラスでTLが発生する可能性があると予測します。

(i)に関して、図4と図S9に示すように、カオス振動を生じる別のパラメータセットを持つ同じ食物連鎖モデルが、振動子が同期したとき、近似的に波形比例性とTLを示すことを実証しています。

(ii)に関して、図S10に示すように、式(2)で$Y = y_0$であるペースメーカー駆動システムでTLが観察されることを実証しています。

(iii)に関して、例として以下のレスラーシステム[39-44]を考えます：
式(2)における
$$f_x = -(\omega_0 + \mu_i)y_i - z_i$$
$$f_y = (\omega_0 + \mu_i)x_i + ay_i$$
$$f_z = b + z_i(x_i - c)$$
ここで標準的なパラメータ値として$a = 0.1$、$b = 0.1$、$c = 0.7$を採用し、不均一性パラメータとして$\mu_i$を導入します。先行研究[39-44]に従い、$D_x = D_y = D > 0$および$D_z = 0$を考えます。レスラーシステムのシミュレーション結果は図S11に示されています。

このシステムでは、実際の周波数$\omega$はおおよそ$\omega_0$です。式(15)において$D_x$と$\bar{f}$がそれぞれ$0$と$\langle x_i(t) - c \rangle_t$に置き換えられた場合、任意の$D$の値に対して満たされる可能性があるため、変数$z$でTLが観察されると予想されます。

さらに、式(15)の妥当性は$\omega_0$を通じて便利に制御できるため、$D$依存性に加えて$\omega_0$依存性も調査します。固定$D = 100$に対する$\omega_0$依存性を調査します。予想通り、$\omega_0$が増加するにつれて、指数$\beta_{t,s}$は決定係数($R^2$)が大きい状態で2に近づきます（図S12）。

• 図4. カオス領域における食物連鎖モデルのTLパラメータと同期度のDy依存性
  パラメータ設定：N = 100、a = 1、c = 10、k = 0.6、l = 0.1、$x^p = 1.5$、$y^p = 0$、$z^p = 0.01$。$b_i$は0.9から1.1の間の一様分布からランダムに選択されました。
  シミュレーションはt = 3500まで実行され、TLはt = 3000からt = 3500までの時系列を用いて計算されました。エラーバーは、異なる初期条件と$b_i$を持つ10回の計算の標準偏差を表しています。
  (a)では、紫色の線と垂直のオレンジ色の線はそれぞれχと$max{μ_i}$を表しています。(b)では、赤線と黒線はそれぞれシミュレーション結果と理論結果を表しています。
  (a) 時間的TLの決定係数（緑線）
  (b) 時間的TLの指数

Discussion

本研究では、広範な周期的およびカオス的振動子において、同期によって時間的および空間的テイラーの法則（TL）が誘発されることを示しました。具体的には、同期の度合いが増加するにつれて、log(平均)とlog(分散)の間の相関が強くなることを実証しました。

さらに、強い同期の領域では波形比例性が生じ、その結果として指数2の時間的および空間的TLが導出されることを示しました。これらの同期誘発型TLでは、時間的および空間的TLは同じメカニズム、つまり波形比例性から生じます。一方、式(8)の$\varepsilon_i\tau$項で表される位相ラグにより、空間的TLは時間的TLよりも強い結合を必要とします。

いくつかの研究がTLと同期の関係を探究していますが[7, 18, 22-24, 28, 30, 31, 36, 45]、その関係の詳細はまだ完全には理解されていません。これらの研究の多くは、数値シミュレーションを通じてTLの指数と同期の度合いの間の相関を調査しています[22, 24, 28, 30, 31, 36]。[7, 22, 23]では、時系列が完全に相関している場合に指数2の時間的TLが観察されると論じられています。Reumanらは空間的TLと同期の間の解析的関係を導出しました[18]。

本研究では、広範な周期的およびカオス的振動子の同期状態から、指数2の時間的および空間的TLの両方を解析的に導出しました。指数2のTLに対する他のメカニズムが知られており[3, 19, 21, 25, 27, 29, 32-34]、本研究で考慮された同期はその強度と特殊な相関（波形比例性）のためにやや異例ですが、生態系における別の普遍的現象としての同期の観点からTLの理解に価値ある洞察を提供すると考えています[46]。

本研究は、平均と分散の関係のみから同期の存在を推測するのに役立つ可能性があります[47]。波形比例性と同様の現象として、射影同期[48]や一種の一般化同期[49]が以前に提案されています。これらの以前に報告された現象は、限られたクラスの結合振動子で観察されます。振動子が強く同期している場合、広範なクラスの結合周期的またはカオス的振動子において波形比例性が生じることを示しました。

本研究はJSPS科研費JP23KJ0830と東京大学WINGSCFSプログラム（Y.M.向け）、およびJSPS科研費JP21K12056（H.K.向け）の支援を受けました。

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